Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un [rombe]]. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals.

Property Value
prop-ca:contingut
  • És el polígon regular de quatre costats. Regular vol dir que els quatre costats són iguals i els quatre angles també. Per tant només cal demostrar que en geometria euclidiana els angles han de ser de 90 °. Traçant una diagonal s'obtenen dos triangles. Com que la suma dels angles de cada triangle és 180 ° , la suma dels angles interns de qualsevol quadrilàter ha de ser 180 ° + 180 ° = 360 ° i com que en el quadrilàter regular tots quatre han de ser iguals, cada un ha de mesurar 360 °/4 = 90 °. Per tant el polígon regular de quatre costats és el quadrat. Les cares oposades són paral·leles entre si. Com que tots els angles són de 90 graus, les cares oposades tallen a qualsevol de les altres cares formant els mateixos angles, per tant són paral·leles. El quadrat és un cas particular de: * Rectangle. Quan les cares tenen la mateixa mida. * Rombe. Quan els angles són de 90 ° * Paral·lalogram. Quan les cares tenen la mateixa mida i els angles són de 90 ° * Trapeci. Quan les cares tenen la mateixa mida i els angles són de 90 ° * Quadrilater. Quan les cares tenen la mateixa mida i els angles són de 90 ° Les diagonals són iguals i es troben al mig. # Són iguals. Cada diagonal forma amb dos costats un triangle rectangle isòsceles del qual n'és la hipotenusa, per tant els dos angles que forma la diagonal amb cada un dels costats han de ser iguals a /2 = 45 °. En conseqüència les dues diagonals formen triangles semblants i un dels seus costats té la mateixa longitud . El que permet concloure que els altres costats també han de ser iguals i per tant les diagonals han de ser iguals. # Es troben al mig. Les dues diagonals i un costat formen un triangle, cada diagonal forma un angle de 45 ° amb el costat, per tant és un triangle isòsceles, com que això passa amb els quatre triangles que es formen entre les diagonals i cada un dels quatre costats, la distància entre qualsevol vèrtex i el punt on es creuen les diagonals ha de ser sempre la mateixa. Les diagonals són bisectrius dels seus angles. Ja s'ha vist abans que les diagonals formen angles de 45 °, com que els angles que tallen són de 90 °, en son les bisectrius . thumb|right|Demostració que longitud de la diagonal és la longitud del costat La longitud d'una diagonal és vegades la longitud d'un costat Es pot veure pel teorema de Pitàgores, que Euclides demostra directament. Però pel cas del quadrat hi ha una demostració més senzilla que presenta el matemàtic català Savasorda en el seu Llibre de geometria abans de demostrar el teorema de Pitàgores pel cas general. N'hi ha prou amb dibuixar el quadrat de la diagonal i observar que el triangle que forma la diagonal amb dos costats és una quarta part del quadrat de la diagonal, per tant el quadrat original és la meitat del quadrat de la diagonal , o el que és el mateix el quadrat de la diagonal és el doble que el quadrat. Per tant la longitud de la diagonal és la longitud del costat. Si un quadrilàter és alhora un rombe i un rectangle llavors és un quadrat. Si és un rombe té els quatre costats iguals, si és un rectangle els quatre angles són angles rectes i el quadrilàter de quatre costats iguals i quatre angles rectes és per definició el quadrat. El quadrat té l'àrea més gran que qualsevol altre quadrilàter amb el mateix perímetre. Aquesta afirmació és fàcil d'acceptar intuïtivament però la seva demostració matemàtica no és trivial. Una demostració es pot fer seguint tres passos: # Es demostra que prenent una diagonal i dos costats, de tots els triangles limitats per la diagonal i dos costats que mantenen constant la suma de les longituds dels dos costats el que té àrea màxima és el que té els dos costats de la mateixa longitud. # Aplicant aquest principi a les dues diagonals és evident que donat un quadrilàter no isòsceles sempre es pot trobar un altre quadrilàter isòsceles que tingui el mateix perímetre que el primer quadrilàter i una àrea més gran. # Llavors només cal veure que de tots els quadrilàters isòsceles el quadrat és el que té l'àrea més gran. 300px|thumb|Triangle format per una diagonal i dos costats. La suma de les longituds dels dos costats és constant igual a L. A la figura de la dreta s'ha representat el triangle que resulta de tallar un quadrilàter qualsevol per una de les seves diagonals. L'àrea d'aquest quadrilàter serà la meitat del producte de de la base per l'altura, per tant de tots els triangles possibles que conservin constant la suma de les longituds d'aquests dos costats, el que tindrà major àrea serà el que tingui major altura. Llavors n'hi ha prou amb trobar quin és el que té una altura màxima. Aplicant les fórmules de resolució de triangles pel cas en què es coneixen els tres constats es troba que el cosinus de l'angle α és: : i operant resulta: : per tant: : Com que l'altura és sempre un nombre positiu, trobar en quen cas l'altura és màxima és el mateix que trobar en qun cas l'altura al quadrat és màxima, i l'altura al quadrat és: : Derivant h² respecte de l s'obté: : I igualant a zero la derivada, per tal de trobar el valor de l que fa que h² sigui màxim resulta: : Per tant l'àrea és màxima quan els dos costats tenen la mateixa longitud. Si en un quadrilàter qualsevol, es manté constant una diagonal, es pot obtenir un altre quadrilàter amb major àrea i igual perímetre si a cada cantó de la diagonal es modifiquen les longituds dels costats de forma que la suma de longituds es mantingui constant i que els dos costats tinguin la mateixa longitud. Si un cop fet això es repeteix el mateix procediment amb l'altra diagonal del quadrilàter resultant, llavors s'obté un quadrilàter isòsceles: que té tots quatre costats de la mateixa longitud. Només cal veure que de tots els quadrilàters isòsceles el de màxima àrea és el quadrat. Com que l'àrea d'un quadrilàter isòsceles és el producte d'una base per l'altura. La base és la longitud del costat i l'altura és la longitud del costat pel sinus de l'angle. Per tant l'àrea serà màxima quan l'altura sigui màxima i l'altura serà màxima quant el sinus de l'angle sigui màxim. El sinus màxim és 1 i correspon al l'angle de 90 °. Per tant, amb un perímetre donat, el quadrilàter que tanca la màxima àrea és el quadrat.
prop-ca:títol
  • Demostració
dbo:abstract
  • Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un [rombe]]. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals. El quadrat posseeix nombroses propietats de simetria i de regularitat. Tot quadrat té quatre eixos de simetria i és invariant per rotacions d'angles múltiples del recte. Dos costats consecutius d'un quadrat són perpendiculars, igual com les seves diagonals. Aquestes propietats són conegudes des de l'antiguitat; de fet, les primeres representacions del quadrat daten de la prehistòria. És, juntament amb la circumferència i el triangle, una de les figures geomètriques més estudiades des de l'antiguitat. El problema de la quadratura del cercle ha ocupat nombrosos matemàtics durant dos mil·lennis. El quadrat forma part de la figura descrita per Ramon Llull a La quadratura del cercle. El «quadrat d'un nombre» designa també el producte d'aquest nombre per ell mateix. Es denota a × a = a² i es llegeix «al quadrat» o «a quadrat». Aquesta expressió s'ha imposat durant el període on l'àlgebra geomètrica era omnipresent: el quadrat d'un nombre era vist com la superfície d'un quadrat de costat el nombre inicial. (ca)
  • Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un [rombe]]. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals. El quadrat posseeix nombroses propietats de simetria i de regularitat. Tot quadrat té quatre eixos de simetria i és invariant per rotacions d'angles múltiples del recte. Dos costats consecutius d'un quadrat són perpendiculars, igual com les seves diagonals. Aquestes propietats són conegudes des de l'antiguitat; de fet, les primeres representacions del quadrat daten de la prehistòria. És, juntament amb la circumferència i el triangle, una de les figures geomètriques més estudiades des de l'antiguitat. El problema de la quadratura del cercle ha ocupat nombrosos matemàtics durant dos mil·lennis. El quadrat forma part de la figura descrita per Ramon Llull a La quadratura del cercle. El «quadrat d'un nombre» designa també el producte d'aquest nombre per ell mateix. Es denota a × a = a² i es llegeix «al quadrat» o «a quadrat». Aquesta expressió s'ha imposat durant el període on l'àlgebra geomètrica era omnipresent: el quadrat d'un nombre era vist com la superfície d'un quadrat de costat el nombre inicial. (ca)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 7168 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 17207424 (xsd:integer)
dct:subject
rdfs:comment
  • Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un [rombe]]. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals. (ca)
  • Un quadrat és un polígon regular de quatre costats iguals amb angles rectes (de 90°), és a dir, els seus quatre costats tenen la mateixa longitud i els seus quatre angles la mateixa mesura. Un quadrat és alhora un [rombe]]. El fet d'imposar que, a més de tenir els quatre costats iguals i els quatre angles iguals, els angles hagin de ser de 90°, fa que només puguin existir quadrats en geometria euclidiana. Per poder estendre el concepte de quadrat a geometries no euclidianes cal relaxar la condició que els angles siguin de 90° i imposar només que siguin tots iguals. (ca)
rdfs:label
  • Quadrat (polígon) (ca)
  • Quadrat (polígon) (ca)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is foaf:primaryTopic of